Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iba |
|- ( (/) e. C -> ( B e. A <-> ( B e. A /\ (/) e. C ) ) ) |
2 |
|
nnmord |
|- ( ( B e. _om /\ A e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
3 |
2
|
3com12 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
4 |
1 3
|
sylan9bbr |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
5 |
4
|
notbid |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. B e. A <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
6 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> A e. _om ) |
7 |
|
nnon |
|- ( A e. _om -> A e. On ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> A e. On ) |
9 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> B e. _om ) |
10 |
|
nnon |
|- ( B e. _om -> B e. On ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> B e. On ) |
12 |
|
ontri1 |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) ) |
13 |
8 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) ) |
14 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> C e. _om ) |
15 |
|
nnmcl |
|- ( ( C e. _om /\ A e. _om ) -> ( C .o A ) e. _om ) |
16 |
14 6 15
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. _om ) |
17 |
|
nnon |
|- ( ( C .o A ) e. _om -> ( C .o A ) e. On ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. On ) |
19 |
|
nnmcl |
|- ( ( C e. _om /\ B e. _om ) -> ( C .o B ) e. _om ) |
20 |
14 9 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. _om ) |
21 |
|
nnon |
|- ( ( C .o B ) e. _om -> ( C .o B ) e. On ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. On ) |
23 |
|
ontri1 |
|- ( ( ( C .o A ) e. On /\ ( C .o B ) e. On ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
24 |
18 22 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
25 |
5 13 24
|
3bitr4d |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) ) |