Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elnn |
|- ( ( A e. B /\ B e. _om ) -> A e. _om ) |
2 |
1
|
ancoms |
|- ( ( B e. _om /\ A e. B ) -> A e. _om ) |
3 |
2
|
adantll |
|- ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. B ) -> A e. _om ) |
4 |
|
nnord |
|- ( B e. _om -> Ord B ) |
5 |
|
ordsucss |
|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> suc A C_ B ) ) |
7 |
6
|
ad2antlr |
|- ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. _om ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) ) |
8 |
|
peano2b |
|- ( A e. _om <-> suc A e. _om ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc A -> ( C +o x ) = ( C +o suc A ) ) |
10 |
9
|
sseq2d |
|- ( x = suc A -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) |
11 |
10
|
imbi2d |
|- ( x = suc A -> ( ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) ) |
12 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( C +o x ) = ( C +o y ) ) |
13 |
12
|
sseq2d |
|- ( x = y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) |
14 |
13
|
imbi2d |
|- ( x = y -> ( ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) ) |
15 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( C +o x ) = ( C +o suc y ) ) |
16 |
15
|
sseq2d |
|- ( x = suc y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) |
17 |
16
|
imbi2d |
|- ( x = suc y -> ( ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) ) |
18 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( C +o x ) = ( C +o B ) ) |
19 |
18
|
sseq2d |
|- ( x = B -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( x = B -> ( ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) |
21 |
|
ssid |
|- ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) |
22 |
21
|
2a1i |
|- ( suc A e. _om -> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) |
23 |
|
sssucid |
|- ( C +o y ) C_ suc ( C +o y ) |
24 |
|
sstr2 |
|- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( ( C +o y ) C_ suc ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) ) |
25 |
23 24
|
mpi |
|- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) |
26 |
|
nnasuc |
|- ( ( C e. _om /\ y e. _om ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) ) |
27 |
26
|
ancoms |
|- ( ( y e. _om /\ C e. _om ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) ) |
28 |
27
|
sseq2d |
|- ( ( y e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) <-> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) ) |
29 |
25 28
|
syl5ibr |
|- ( ( y e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) |
30 |
29
|
ex |
|- ( y e. _om -> ( C e. _om -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) ) |
31 |
30
|
ad2antrr |
|- ( ( ( y e. _om /\ suc A e. _om ) /\ suc A C_ y ) -> ( C e. _om -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) ) |
32 |
31
|
a2d |
|- ( ( ( y e. _om /\ suc A e. _om ) /\ suc A C_ y ) -> ( ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) -> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) ) |
33 |
11 14 17 20 22 32
|
findsg |
|- ( ( ( B e. _om /\ suc A e. _om ) /\ suc A C_ B ) -> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) |
34 |
33
|
exp31 |
|- ( B e. _om -> ( suc A e. _om -> ( suc A C_ B -> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) ) |
35 |
8 34
|
syl5bi |
|- ( B e. _om -> ( A e. _om -> ( suc A C_ B -> ( C e. _om -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) ) |
36 |
35
|
com4r |
|- ( C e. _om -> ( B e. _om -> ( A e. _om -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
imp31 |
|- ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. _om ) -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) |
38 |
|
nnasuc |
|- ( ( C e. _om /\ A e. _om ) -> ( C +o suc A ) = suc ( C +o A ) ) |
39 |
38
|
sseq1d |
|- ( ( C e. _om /\ A e. _om ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) <-> suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) |
40 |
|
ovex |
|- ( C +o A ) e. _V |
41 |
|
sucssel |
|- ( ( C +o A ) e. _V -> ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) ) |
42 |
40 41
|
ax-mp |
|- ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) |
43 |
39 42
|
syl6bi |
|- ( ( C e. _om /\ A e. _om ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) ) |
44 |
43
|
adantlr |
|- ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. _om ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) ) |
45 |
7 37 44
|
3syld |
|- ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. _om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) ) |
46 |
45
|
imp |
|- ( ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. _om ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) |
47 |
46
|
an32s |
|- ( ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. B ) /\ A e. _om ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) |
48 |
3 47
|
mpdan |
|- ( ( ( C e. _om /\ B e. _om ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) |
49 |
48
|
ex |
|- ( ( C e. _om /\ B e. _om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) ) |
50 |
49
|
ancoms |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) ) |