Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( x = C -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o C ) ) |
2 |
|
oveq2 |
|- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) ) |
3 |
2
|
oveq2d |
|- ( x = C -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
4 |
1 3
|
eqeq12d |
|- ( x = C -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) |
5 |
4
|
imbi2d |
|- ( x = C -> ( ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) <-> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) ) |
6 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o (/) ) ) |
7 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
|- ( x = (/) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) |
9 |
6 8
|
eqeq12d |
|- ( x = (/) -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) ) |
10 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o y ) ) |
11 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
|- ( x = y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) |
13 |
10 12
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) ) |
14 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o suc y ) ) |
15 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) ) |
16 |
15
|
oveq2d |
|- ( x = suc y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) |
17 |
14 16
|
eqeq12d |
|- ( x = suc y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) |
18 |
|
nnmcl |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o B ) e. _om ) |
19 |
|
nnm0 |
|- ( ( A .o B ) e. _om -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) ) |
21 |
|
nnm0 |
|- ( B e. _om -> ( B .o (/) ) = (/) ) |
22 |
21
|
oveq2d |
|- ( B e. _om -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = ( A .o (/) ) ) |
23 |
|
nnm0 |
|- ( A e. _om -> ( A .o (/) ) = (/) ) |
24 |
22 23
|
sylan9eqr |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = (/) ) |
25 |
20 24
|
eqtr4d |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) |
26 |
|
oveq1 |
|- ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) |
27 |
|
nnmsuc |
|- ( ( ( A .o B ) e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) ) |
28 |
18 27
|
stoic3 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) ) |
29 |
|
nnmsuc |
|- ( ( B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) |
30 |
29
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) |
31 |
30
|
oveq2d |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) ) |
32 |
|
nnmcl |
|- ( ( B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B .o y ) e. _om ) |
33 |
|
nndi |
|- ( ( A e. _om /\ ( B .o y ) e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) |
34 |
32 33
|
syl3an2 |
|- ( ( A e. _om /\ ( B e. _om /\ y e. _om ) /\ B e. _om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) |
35 |
34
|
3exp |
|- ( A e. _om -> ( ( B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B e. _om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) |
36 |
35
|
expd |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( y e. _om -> ( B e. _om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
com34 |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( B e. _om -> ( y e. _om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) ) |
38 |
37
|
pm2.43d |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( y e. _om -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
3imp |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) |
40 |
31 39
|
eqtrd |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) |
41 |
28 40
|
eqeq12d |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) |
42 |
26 41
|
syl5ibr |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) |
43 |
42
|
3exp |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( y e. _om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
com3r |
|- ( y e. _om -> ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
impd |
|- ( y e. _om -> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) |
46 |
9 13 17 25 45
|
finds2 |
|- ( x e. _om -> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) ) |
47 |
5 46
|
vtoclga |
|- ( C e. _om -> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) |
48 |
47
|
expdcom |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( C e. _om -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) ) |
49 |
48
|
3imp |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |