Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
|- ( x = A -> ( x .o B ) = ( A .o B ) ) |
2 |
|
oveq2 |
|- ( x = A -> ( B .o x ) = ( B .o A ) ) |
3 |
1 2
|
eqeq12d |
|- ( x = A -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) |
4 |
3
|
imbi2d |
|- ( x = A -> ( ( B e. _om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) <-> ( B e. _om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) ) |
5 |
|
oveq1 |
|- ( x = (/) -> ( x .o B ) = ( (/) .o B ) ) |
6 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) ) |
7 |
5 6
|
eqeq12d |
|- ( x = (/) -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) ) |
8 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x .o B ) = ( y .o B ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) ) |
10 |
8 9
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( y .o B ) = ( B .o y ) ) ) |
11 |
|
oveq1 |
|- ( x = suc y -> ( x .o B ) = ( suc y .o B ) ) |
12 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) ) |
13 |
11 12
|
eqeq12d |
|- ( x = suc y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) |
14 |
|
nnm0r |
|- ( B e. _om -> ( (/) .o B ) = (/) ) |
15 |
|
nnm0 |
|- ( B e. _om -> ( B .o (/) ) = (/) ) |
16 |
14 15
|
eqtr4d |
|- ( B e. _om -> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) |
18 |
|
nnmsucr |
|- ( ( y e. _om /\ B e. _om ) -> ( suc y .o B ) = ( ( y .o B ) +o B ) ) |
19 |
|
nnmsuc |
|- ( ( B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) |
20 |
19
|
ancoms |
|- ( ( y e. _om /\ B e. _om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) |
21 |
18 20
|
eqeq12d |
|- ( ( y e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) <-> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) ) |
22 |
17 21
|
syl5ibr |
|- ( ( y e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) |
23 |
22
|
ex |
|- ( y e. _om -> ( B e. _om -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) ) |
24 |
7 10 13 16 23
|
finds2 |
|- ( x e. _om -> ( B e. _om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) ) |
25 |
4 24
|
vtoclga |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) |
26 |
25
|
imp |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) |