Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nnaord |
|- ( ( B e. _om /\ A e. _om /\ C e. _om ) -> ( B e. A <-> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) |
2 |
1
|
3com12 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( B e. A <-> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) |
3 |
2
|
notbid |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( -. B e. A <-> -. ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) |
4 |
|
nnord |
|- ( A e. _om -> Ord A ) |
5 |
|
nnord |
|- ( B e. _om -> Ord B ) |
6 |
|
ordtri1 |
|- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) ) |
7 |
4 5 6
|
syl2an |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) ) |
8 |
7
|
3adant3 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) ) |
9 |
|
nnacl |
|- ( ( C e. _om /\ A e. _om ) -> ( C +o A ) e. _om ) |
10 |
9
|
ancoms |
|- ( ( A e. _om /\ C e. _om ) -> ( C +o A ) e. _om ) |
11 |
10
|
3adant2 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( C +o A ) e. _om ) |
12 |
|
nnacl |
|- ( ( C e. _om /\ B e. _om ) -> ( C +o B ) e. _om ) |
13 |
12
|
ancoms |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( C +o B ) e. _om ) |
14 |
13
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( C +o B ) e. _om ) |
15 |
|
nnord |
|- ( ( C +o A ) e. _om -> Ord ( C +o A ) ) |
16 |
|
nnord |
|- ( ( C +o B ) e. _om -> Ord ( C +o B ) ) |
17 |
|
ordtri1 |
|- ( ( Ord ( C +o A ) /\ Ord ( C +o B ) ) -> ( ( C +o A ) C_ ( C +o B ) <-> -. ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) |
18 |
15 16 17
|
syl2an |
|- ( ( ( C +o A ) e. _om /\ ( C +o B ) e. _om ) -> ( ( C +o A ) C_ ( C +o B ) <-> -. ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) |
19 |
11 14 18
|
syl2anc |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C +o A ) C_ ( C +o B ) <-> -. ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) |
20 |
3 8 19
|
3bitr4d |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) |