Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A -h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) |
2 |
1 1
|
oveq12d |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( A -h B ) .ih ( A -h B ) ) = ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) |
3 |
|
id |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> A = if ( A e. ~H , A , 0h ) ) |
4 |
3 3
|
oveq12d |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A .ih A ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) |
5 |
4
|
oveq1d |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( A .ih A ) + ( B .ih B ) ) = ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( B .ih B ) ) ) |
6 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A .ih B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) ) |
7 |
|
oveq2 |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( B .ih A ) = ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) |
8 |
6 7
|
oveq12d |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( A .ih B ) + ( B .ih A ) ) = ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) + ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) |
9 |
5 8
|
oveq12d |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( A .ih A ) + ( B .ih B ) ) - ( ( A .ih B ) + ( B .ih A ) ) ) = ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( B .ih B ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) + ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) ) |
10 |
2 9
|
eqeq12d |
|- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( A -h B ) .ih ( A -h B ) ) = ( ( ( A .ih A ) + ( B .ih B ) ) - ( ( A .ih B ) + ( B .ih A ) ) ) <-> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( B .ih B ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) + ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) |
12 |
11 11
|
oveq12d |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) |
13 |
|
id |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> B = if ( B e. ~H , B , 0h ) ) |
14 |
13 13
|
oveq12d |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( B .ih B ) = ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) |
15 |
14
|
oveq2d |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( B .ih B ) ) = ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) |
16 |
|
oveq2 |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) |
18 |
16 17
|
oveq12d |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) + ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) = ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) |
19 |
15 18
|
oveq12d |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( B .ih B ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) + ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) = ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) ) |
20 |
12 19
|
eqeq12d |
|- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( B .ih B ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) + ( B .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) <-> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) ) ) |
21 |
|
ifhvhv0 |
|- if ( A e. ~H , A , 0h ) e. ~H |
22 |
|
ifhvhv0 |
|- if ( B e. ~H , B , 0h ) e. ~H |
23 |
21 22 21 22
|
normlem9 |
|- ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) + ( if ( B e. ~H , B , 0h ) .ih if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) ) |
24 |
10 20 23
|
dedth2h |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( A -h B ) .ih ( A -h B ) ) = ( ( ( A .ih A ) + ( B .ih B ) ) - ( ( A .ih B ) + ( B .ih A ) ) ) ) |