Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- U. G = U. G |
2 |
1
|
l2p |
|- ( ( G e. Plig /\ { A } e. G ) -> E. a e. U. G E. b e. U. G ( a =/= b /\ a e. { A } /\ b e. { A } ) ) |
3 |
|
elsni |
|- ( a e. { A } -> a = A ) |
4 |
|
elsni |
|- ( b e. { A } -> b = A ) |
5 |
|
eqtr3 |
|- ( ( a = A /\ b = A ) -> a = b ) |
6 |
|
eqneqall |
|- ( a = b -> ( a =/= b -> -. { A } e. G ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
|- ( ( a = A /\ b = A ) -> ( a =/= b -> -. { A } e. G ) ) |
8 |
3 4 7
|
syl2an |
|- ( ( a e. { A } /\ b e. { A } ) -> ( a =/= b -> -. { A } e. G ) ) |
9 |
8
|
impcom |
|- ( ( a =/= b /\ ( a e. { A } /\ b e. { A } ) ) -> -. { A } e. G ) |
10 |
9
|
3impb |
|- ( ( a =/= b /\ a e. { A } /\ b e. { A } ) -> -. { A } e. G ) |
11 |
10
|
a1i |
|- ( ( a e. U. G /\ b e. U. G ) -> ( ( a =/= b /\ a e. { A } /\ b e. { A } ) -> -. { A } e. G ) ) |
12 |
11
|
rexlimivv |
|- ( E. a e. U. G E. b e. U. G ( a =/= b /\ a e. { A } /\ b e. { A } ) -> -. { A } e. G ) |
13 |
2 12
|
syl |
|- ( ( G e. Plig /\ { A } e. G ) -> -. { A } e. G ) |
14 |
13
|
pm2.01da |
|- ( G e. Plig -> -. { A } e. G ) |