Theorem omhf

Description: Finite ordinals are hereditarily finite sets. (Contributed by Eric Schmidt, 26-Sep-2026)

	Ref	Expression
Assertion	omhf	|- ( A e. _om -> A e. HF )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1	|- ( x = (/) -> ( x e. HF <-> (/) e. HF ) )
2		eleq1	|- ( x = y -> ( x e. HF <-> y e. HF ) )
3		eleq1	|- ( x = suc y -> ( x e. HF <-> suc y e. HF ) )
4		eleq1	|- ( x = A -> ( x e. HF <-> A e. HF ) )
5		0hf	|- (/) e. HF
6		df-suc	|- suc y = ( y u. { y } )
7		hfadj	|- ( ( y e. HF /\ y e. HF ) -> ( y u. { y } ) e. HF )
8	7	anidms	|- ( y e. HF -> ( y u. { y } ) e. HF )
9	6 8	eqeltrid	|- ( y e. HF -> suc y e. HF )
10	9	a1i	|- ( y e. _om -> ( y e. HF -> suc y e. HF ) )
11	1 2 3 4 5 10	finds	|- ( A e. _om -> A e. HF )