Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3simpa |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( A e. V /\ B e. W ) ) |
2 |
1
|
anim1i |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ ( C e. _V /\ D e. _V ) ) -> ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. _V /\ D e. _V ) ) ) |
3 |
2
|
ancoms |
|- ( ( ( C e. _V /\ D e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. _V /\ D e. _V ) ) ) |
4 |
|
preq12bg |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. _V /\ D e. _V ) ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( ( C e. _V /\ D e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
6 |
5
|
ex |
|- ( ( C e. _V /\ D e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) ) |
7 |
|
ianor |
|- ( -. ( C e. _V /\ D e. _V ) <-> ( -. C e. _V \/ -. D e. _V ) ) |
8 |
|
prneprprc |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ -. C e. _V ) -> { A , B } =/= { C , D } ) |
9 |
8
|
ancoms |
|- ( ( -. C e. _V /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> { A , B } =/= { C , D } ) |
10 |
|
eqneqall |
|- ( { A , B } = { C , D } -> ( { A , B } =/= { C , D } -> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl5com |
|- ( ( -. C e. _V /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> ( { A , B } = { C , D } -> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
12 |
|
prneprprc |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) /\ -. D e. _V ) -> { A , B } =/= { D , C } ) |
13 |
12
|
ancoms |
|- ( ( -. D e. _V /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> { A , B } =/= { D , C } ) |
14 |
|
prcom |
|- { C , D } = { D , C } |
15 |
14
|
eqeq2i |
|- ( { A , B } = { C , D } <-> { A , B } = { D , C } ) |
16 |
|
eqneqall |
|- ( { A , B } = { D , C } -> ( { A , B } =/= { D , C } -> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
17 |
15 16
|
sylbi |
|- ( { A , B } = { C , D } -> ( { A , B } =/= { D , C } -> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
18 |
13 17
|
syl5com |
|- ( ( -. D e. _V /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> ( { A , B } = { C , D } -> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
19 |
11 18
|
jaoian |
|- ( ( ( -. C e. _V \/ -. D e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> ( { A , B } = { C , D } -> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
20 |
|
preq12 |
|- ( ( A = C /\ B = D ) -> { A , B } = { C , D } ) |
21 |
|
preq12 |
|- ( ( A = D /\ B = C ) -> { A , B } = { D , C } ) |
22 |
|
prcom |
|- { D , C } = { C , D } |
23 |
21 22
|
eqtrdi |
|- ( ( A = D /\ B = C ) -> { A , B } = { C , D } ) |
24 |
20 23
|
jaoi |
|- ( ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) -> { A , B } = { C , D } ) |
25 |
19 24
|
impbid1 |
|- ( ( ( -. C e. _V \/ -. D e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( ( -. C e. _V \/ -. D e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) ) |
27 |
7 26
|
sylbi |
|- ( -. ( C e. _V /\ D e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) ) |
28 |
6 27
|
pm2.61i |
|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A , B } = { C , D } <-> ( ( A = C /\ B = D ) \/ ( A = D /\ B = C ) ) ) ) |