Theorem r19.29ffa

Description: A commonly used pattern based on r19.29 , version with two restricted quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017)

	Ref	Expression
Hypothesis	r19.29ffa.3	|- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) /\ ps ) -> ch )
Assertion	r19.29ffa	|- ( ( ph /\ E. x e. A E. y e. B ps ) -> ch )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29ffa.3	|- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) /\ ps ) -> ch )
2	1	ex	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ps -> ch ) )
3	2	ralrimiva	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. B ( ps -> ch ) )
4	3	ralrimiva	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. B ( ps -> ch ) )
5	4	adantr	|- ( ( ph /\ E. x e. A E. y e. B ps ) -> A. x e. A A. y e. B ( ps -> ch ) )
6		simpr	|- ( ( ph /\ E. x e. A E. y e. B ps ) -> E. x e. A E. y e. B ps )
7	5 6	r19.29d2r	|- ( ( ph /\ E. x e. A E. y e. B ps ) -> E. x e. A E. y e. B ( ( ps -> ch ) /\ ps ) )
8		pm3.35	|- ( ( ps /\ ( ps -> ch ) ) -> ch )
9	8	ancoms	|- ( ( ( ps -> ch ) /\ ps ) -> ch )
10	9	rexlimivw	|- ( E. y e. B ( ( ps -> ch ) /\ ps ) -> ch )
11	10	rexlimivw	|- ( E. x e. A E. y e. B ( ( ps -> ch ) /\ ps ) -> ch )
12	7 11	syl	|- ( ( ph /\ E. x e. A E. y e. B ps ) -> ch )