Theorem ralbiim

Description: Split a biconditional and distribute quantifier. Restricted quantifier version of albiim . (Contributed by NM, 3-Jun-2012)

	Ref	Expression
Assertion	ralbiim	|- ( A. x e. A ( ph <-> ps ) <-> ( A. x e. A ( ph -> ps ) /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi2	|- ( ( ph <-> ps ) <-> ( ( ph -> ps ) /\ ( ps -> ph ) ) )
2	1	ralbii	|- ( A. x e. A ( ph <-> ps ) <-> A. x e. A ( ( ph -> ps ) /\ ( ps -> ph ) ) )
3		r19.26	|- ( A. x e. A ( ( ph -> ps ) /\ ( ps -> ph ) ) <-> ( A. x e. A ( ph -> ps ) /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) )
4	2 3	bitri	|- ( A. x e. A ( ph <-> ps ) <-> ( A. x e. A ( ph -> ps ) /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) )