Theorem ralxfrd

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A . (Contributed by NM, 15-Aug-2014) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016) (Proof shortened by JJ, 7-Aug-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
	ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
	ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	ralxfrd	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
2		ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
3		ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4	3	adantlr	|- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
5	1 4	rspcdv	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( A. x e. B ps -> ch ) )
6	5	ralrimdva	|- ( ph -> ( A. x e. B ps -> A. y e. C ch ) )
7		r19.29	|- ( ( A. y e. C ch /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ( ch /\ x = A ) )
8	3	exbiri	|- ( ph -> ( x = A -> ( ch -> ps ) ) )
9	8	impcomd	|- ( ph -> ( ( ch /\ x = A ) -> ps ) )
10	9	rexlimdvw	|- ( ph -> ( E. y e. C ( ch /\ x = A ) -> ps ) )
11	7 10	syl5	|- ( ph -> ( ( A. y e. C ch /\ E. y e. C x = A ) -> ps ) )
12	11	adantr	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. y e. C ch /\ E. y e. C x = A ) -> ps ) )
13	2 12	mpan2d	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. C ch -> ps ) )
14	13	ralrimdva	|- ( ph -> ( A. y e. C ch -> A. x e. B ps ) )
15	6 14	impbid	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C ch ) )