Description: tbw-ax1 rederived from merco1 .
This theorem, along with retbwax2 , retbwax3 , and retbwax4 , shows that merco1 with ax-mp can be used as a complete axiomatization of propositional calculus. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Ref | Expression | ||
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Assertion | retbwax1 | |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | merco1lem18 | |- ( ( ps -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) |
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2 | merco1lem16 | |- ( ( ( ps -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) |
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3 | 1 2 | ax-mp | |- ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) |
4 | merco1lem15 | |- ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) |
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5 | merco1lem15 | |- ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) |
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6 | 4 5 | ax-mp | |- ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) |
7 | merco1lem18 | |- ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) |
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8 | 6 7 | ax-mp | |- ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) |
9 | merco1lem14 | |- ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) |
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10 | 8 9 | ax-mp | |- ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) |
11 | merco1lem14 | |- ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) |
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12 | merco1lem10 | |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) -> F. ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) ) |
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13 | merco1 | |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) -> F. ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) ) ) |
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14 | 12 13 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) ) |
15 | merco1 | |- ( ( ( ( ( ( ph -> ch ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) |
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16 | 14 15 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) ) |
17 | merco1 | |- ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) |
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18 | 16 17 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) |
19 | 11 18 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) |
20 | merco1lem15 | |- ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) |
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21 | 19 20 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) |
22 | merco1lem10 | |- ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) |
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23 | merco1lem9 | |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) |
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24 | 22 23 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) |
25 | merco1lem13 | |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) |
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26 | 24 25 | ax-mp | |- ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> F. ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) |
27 | 21 26 | ax-mp | |- ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) |
28 | 10 27 | ax-mp | |- ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) |
29 | 3 28 | ax-mp | |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) |