Theorem rspc4v

Description: 4-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 7-Feb-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	rspc4v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
	rspc4v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> th ) )
	rspc4v.3	|- ( z = C -> ( th <-> ta ) )
	rspc4v.4	|- ( w = D -> ( ta <-> ps ) )
Assertion	rspc4v	|- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. T /\ D e. U ) ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc4v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2		rspc4v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> th ) )
3		rspc4v.3	|- ( z = C -> ( th <-> ta ) )
4		rspc4v.4	|- ( w = D -> ( ta <-> ps ) )
5		df-3an	|- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ C e. T ) )
6	1	ralbidv	|- ( x = A -> ( A. w e. U ph <-> A. w e. U ch ) )
7	2	ralbidv	|- ( y = B -> ( A. w e. U ch <-> A. w e. U th ) )
8	3	ralbidv	|- ( z = C -> ( A. w e. U th <-> A. w e. U ta ) )
9	6 7 8	rspc3v	|- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> A. w e. U ta ) )
10	4	rspcv	|- ( D e. U -> ( A. w e. U ta -> ps ) )
11	9 10	sylan9	|- ( ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) /\ D e. U ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )
12	5 11	sylanbr	|- ( ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ C e. T ) /\ D e. U ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )
13	12	anasss	|- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ( C e. T /\ D e. U ) ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T A. w e. U ph -> ps ) )