Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
satfvsucom.s |
|- S = ( M Sat E ) |
2 |
|
satf |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( M Sat E ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
3 |
2
|
3adant3 |
|- ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. suc _om ) -> ( M Sat E ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
4 |
1 3
|
syl5eq |
|- ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. suc _om ) -> S = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
5 |
4
|
fveq1d |
|- ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. suc _om ) -> ( S ` N ) = ( ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ` N ) ) |
6 |
|
fvres |
|- ( N e. suc _om -> ( ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ` N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) |
7 |
6
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3ad2ant3 |
|- ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. suc _om ) -> ( ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ` N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) |
8 |
5 7
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eqtrd |
|- ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. suc _om ) -> ( S ` N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) |