Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-sat |
|- Sat = ( m e. _V , e e. _V |-> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
2 |
1
|
a1i |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> Sat = ( m e. _V , e e. _V |-> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) ) |
3 |
|
oveq1 |
|- ( m = M -> ( m ^m _om ) = ( M ^m _om ) ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( m ^m _om ) = ( M ^m _om ) ) |
5 |
4
|
difeq1d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) |
6 |
5
|
eqeq2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) <-> y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) ) |
7 |
6
|
anbi2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) <-> ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) ) ) |
8 |
7
|
rexbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) <-> E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) ) ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> m = M ) |
10 |
9
|
raleqdv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) <-> A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) ) ) |
11 |
4 10
|
rabeqbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } <-> y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) |
13 |
12
|
anbi2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) <-> ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) ) |
14 |
13
|
rexbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) <-> E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) ) |
15 |
8 14
|
orbi12d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) <-> ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) ) ) |
16 |
15
|
rexbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) <-> E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) ) ) |
17 |
16
|
opabbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } = { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) |
18 |
17
|
uneq2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) = ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) |
19 |
18
|
mpteq2dv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) = ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ) |
20 |
|
breq |
|- ( e = E -> ( ( a ` i ) e ( a ` j ) <-> ( a ` i ) E ( a ` j ) ) ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( ( a ` i ) e ( a ` j ) <-> ( a ` i ) E ( a ` j ) ) ) |
22 |
4 21
|
rabeqbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) |
23 |
22
|
eqeq2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } <-> y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) ) |
24 |
23
|
anbi2d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) <-> ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) ) ) |
25 |
24
|
2rexbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) <-> E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) ) ) |
26 |
25
|
opabbidv |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } = { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |
27 |
|
rdgeq12 |
|- ( ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) = ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) /\ { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } = { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) -> rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } ) = rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ) |
28 |
19 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } ) = rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ) |
29 |
28
|
reseq1d |
|- ( ( m = M /\ e = E ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
30 |
29
|
adantl |
|- ( ( ( M e. V /\ E e. W ) /\ ( m = M /\ e = E ) ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( m ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | A. z e. m ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( m ^m _om ) | ( a ` i ) e ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
31 |
|
elex |
|- ( M e. V -> M e. _V ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> M e. _V ) |
33 |
|
elex |
|- ( E e. W -> E e. _V ) |
34 |
33
|
adantl |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> E e. _V ) |
35 |
|
rdgfun |
|- Fun rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |
36 |
|
omex |
|- _om e. _V |
37 |
36
|
sucex |
|- suc _om e. _V |
38 |
37
|
a1i |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> suc _om e. _V ) |
39 |
|
resfunexg |
|- ( ( Fun rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) /\ suc _om e. _V ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) e. _V ) |
40 |
35 38 39
|
sylancr |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) e. _V ) |
41 |
2 30 32 34 40
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ovmpod |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( M Sat E ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |