Theorem sgrpplusgaopALT

Description: Slot 2 (group operation) of a semigroup as extensible structure is an associative operation on the base set. (Contributed by AV, 13-Jan-2020) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	sgrpplusgaopALT	|- ( G e. Smgrp -> ( +g ` G ) assLaw ( Base ` G ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr	|- ( ( G e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
2		eqid	|- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3		eqid	|- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4	2 3	issgrp	|- ( G e. Smgrp <-> ( G e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
5		fvex	|- ( +g ` G ) e. _V
6		fvex	|- ( Base ` G ) e. _V
7		isasslaw	|- ( ( ( +g ` G ) e. _V /\ ( Base ` G ) e. _V ) -> ( ( +g ` G ) assLaw ( Base ` G ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
8	5 6 7	mp2an	|- ( ( +g ` G ) assLaw ( Base ` G ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
9	1 4 8	3imtr4i	|- ( G e. Smgrp -> ( +g ` G ) assLaw ( Base ` G ) )