Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
spansnsh |
|- ( A e. ~H -> ( span ` { A } ) e. SH ) |
2 |
|
spansnid |
|- ( A e. ~H -> A e. ( span ` { A } ) ) |
3 |
1 2
|
jca |
|- ( A e. ~H -> ( ( span ` { A } ) e. SH /\ A e. ( span ` { A } ) ) ) |
4 |
|
shmulcl |
|- ( ( ( span ` { A } ) e. SH /\ B e. CC /\ A e. ( span ` { A } ) ) -> ( B .h A ) e. ( span ` { A } ) ) |
5 |
4
|
3com12 |
|- ( ( B e. CC /\ ( span ` { A } ) e. SH /\ A e. ( span ` { A } ) ) -> ( B .h A ) e. ( span ` { A } ) ) |
6 |
5
|
3expb |
|- ( ( B e. CC /\ ( ( span ` { A } ) e. SH /\ A e. ( span ` { A } ) ) ) -> ( B .h A ) e. ( span ` { A } ) ) |
7 |
3 6
|
sylan2 |
|- ( ( B e. CC /\ A e. ~H ) -> ( B .h A ) e. ( span ` { A } ) ) |
8 |
7
|
ancoms |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. CC ) -> ( B .h A ) e. ( span ` { A } ) ) |