Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
resqrtcl |
|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqrt ` A ) e. RR ) |
2 |
|
sqrtge0 |
|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqrt ` A ) ) |
3 |
1 2
|
jca |
|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqrt ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` A ) ) ) |
4 |
|
sq11 |
|- ( ( ( ( sqrt ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` A ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( sqrt ` A ) = B ) ) |
5 |
3 4
|
sylan |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( sqrt ` A ) = B ) ) |
6 |
|
resqrtth |
|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) = A ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) = A ) |
8 |
7
|
eqeq1d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = ( B ^ 2 ) ) ) |
9 |
5 8
|
bitr3d |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqrt ` A ) = B <-> A = ( B ^ 2 ) ) ) |