Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-supp |
|- supp = ( x e. _V , z e. _V |-> { i e. dom x | ( x " { i } ) =/= { z } } ) |
2 |
1
|
a1i |
|- ( ( X e. V /\ Z e. W ) -> supp = ( x e. _V , z e. _V |-> { i e. dom x | ( x " { i } ) =/= { z } } ) ) |
3 |
|
dmeq |
|- ( x = X -> dom x = dom X ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( x = X /\ z = Z ) -> dom x = dom X ) |
5 |
|
imaeq1 |
|- ( x = X -> ( x " { i } ) = ( X " { i } ) ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( x = X /\ z = Z ) -> ( x " { i } ) = ( X " { i } ) ) |
7 |
|
sneq |
|- ( z = Z -> { z } = { Z } ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( x = X /\ z = Z ) -> { z } = { Z } ) |
9 |
6 8
|
neeq12d |
|- ( ( x = X /\ z = Z ) -> ( ( x " { i } ) =/= { z } <-> ( X " { i } ) =/= { Z } ) ) |
10 |
4 9
|
rabeqbidv |
|- ( ( x = X /\ z = Z ) -> { i e. dom x | ( x " { i } ) =/= { z } } = { i e. dom X | ( X " { i } ) =/= { Z } } ) |
11 |
10
|
adantl |
|- ( ( ( X e. V /\ Z e. W ) /\ ( x = X /\ z = Z ) ) -> { i e. dom x | ( x " { i } ) =/= { z } } = { i e. dom X | ( X " { i } ) =/= { Z } } ) |
12 |
|
elex |
|- ( X e. V -> X e. _V ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( X e. V /\ Z e. W ) -> X e. _V ) |
14 |
|
elex |
|- ( Z e. W -> Z e. _V ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( X e. V /\ Z e. W ) -> Z e. _V ) |
16 |
|
dmexg |
|- ( X e. V -> dom X e. _V ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( X e. V /\ Z e. W ) -> dom X e. _V ) |
18 |
|
rabexg |
|- ( dom X e. _V -> { i e. dom X | ( X " { i } ) =/= { Z } } e. _V ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( X e. V /\ Z e. W ) -> { i e. dom X | ( X " { i } ) =/= { Z } } e. _V ) |
20 |
2 11 13 15 19
|
ovmpod |
|- ( ( X e. V /\ Z e. W ) -> ( X supp Z ) = { i e. dom X | ( X " { i } ) =/= { Z } } ) |