Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendof.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
tendof.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
tendof.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
4 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
5 |
|
eqid |
|- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W ) |
6 |
4 1 2 5 3
|
istendo |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ) ) ) |
7 |
|
simp1 |
|- ( ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ) -> S : T --> T ) |
8 |
6 7
|
syl6bi |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E -> S : T --> T ) ) |
9 |
8
|
imp |
|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S : T --> T ) |