Theorem tendovalco

Description: Value of composition of translations in a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	tendof.h	|- H = ( LHyp ` K )
	tendof.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	tendof.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion	tendovalco	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		tendof.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		tendof.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4		eqid	|- ( le ` K ) = ( le ` K )
5		eqid	|- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
6	4 1 2 5 3	istendo	|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ) ) )
7		coeq1	|- ( f = F -> ( f o. g ) = ( F o. g ) )
8	7	fveq2d	|- ( f = F -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( S ` ( F o. g ) ) )
9		fveq2	|- ( f = F -> ( S ` f ) = ( S ` F ) )
10	9	coeq1d	|- ( f = F -> ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) )
11	8 10	eqeq12d	|- ( f = F -> ( ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) <-> ( S ` ( F o. g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) ) )
12		coeq2	|- ( g = G -> ( F o. g ) = ( F o. G ) )
13	12	fveq2d	|- ( g = G -> ( S ` ( F o. g ) ) = ( S ` ( F o. G ) ) )
14		fveq2	|- ( g = G -> ( S ` g ) = ( S ` G ) )
15	14	coeq2d	|- ( g = G -> ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) )
16	13 15	eqeq12d	|- ( g = G -> ( ( S ` ( F o. g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) <-> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
17	11 16	rspc2v	|- ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
18	17	com12	|- ( A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
19	18	3ad2ant2	|- ( ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
20	6 19	syl6bi	|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) ) )
21	20	3impia	|- ( ( K e. V /\ W e. H /\ S e. E ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
22	21	imp	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) )