Theorem tglng

Description: Lines of a Tarski Geometry. This relates to both Definition 4.10 of Schwabhauser p. 36. and Definition 6.14 of Schwabhauser p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglng.p	|- P = ( Base ` G )
	tglng.l	|- L = ( LineG ` G )
	tglng.i	|- I = ( Itv ` G )
Assertion	tglng	|- ( G e. TarskiG -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglng.p	|- P = ( Base ` G )
2		tglng.l	|- L = ( LineG ` G )
3		tglng.i	|- I = ( Itv ` G )
4		df-trkg	|- TarskiG = ( ( TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) )
5		inss2	|- ( ( TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) ) C_ ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } )
6		inss2	|- ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) C_ { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) }
7	5 6	sstri	|- ( ( TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) ) C_ { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) }
8	4 7	eqsstri	|- TarskiG C_ { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) }
9	8	sseli	|- ( G e. TarskiG -> G e. { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } )
10		eqid	|- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
11	1 10 3	istrkgl	|- ( G e. { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } <-> ( G e. _V /\ ( LineG ` G ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) ) )
12	11	simprbi	|- ( G e. { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } -> ( LineG ` G ) = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
13	2 12	syl5eq	|- ( G e. { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )
14	9 13	syl	|- ( G e. TarskiG -> L = ( x e. P , y e. ( P \ { x } ) |-> { z e. P | ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) } ) )