Theorem tlt2

Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	tlt2.b	|- B = ( Base ` K )
	tlt2.e	|- .<_ = ( le ` K )
	tlt2.l	|- .< = ( lt ` K )
Assertion	tlt2	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ Y .< X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlt2.b	|- B = ( Base ` K )
2		tlt2.e	|- .<_ = ( le ` K )
3		tlt2.l	|- .< = ( lt ` K )
4		exmidd	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ -. X .<_ Y ) )
5	1 2 3	tltnle	|- ( ( K e. Toset /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .< X <-> -. X .<_ Y ) )
6	5	3com23	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .< X <-> -. X .<_ Y ) )
7	6	orbi2d	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y \/ Y .< X ) <-> ( X .<_ Y \/ -. X .<_ Y ) ) )
8	4 7	mpbird	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ Y .< X ) )