Metamath Proof Explorer

Theorem unopab

Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002)

Ref Expression
Assertion unopab 
|- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 unab 
 |-  ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) }
2 19.43 
 |-  ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
3 andi 
 |-  ( ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
4 3 exbii 
 |-  ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
5 19.43 
 |-  ( E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
6 4 5 bitr2i 
 |-  ( ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
7 6 exbii 
 |-  ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
8 2 7 bitr3i 
 |-  ( ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
9 8 abbii 
 |-  { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
10 1 9 eqtri 
 |-  ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
11 df-opab 
 |-  { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
12 df-opab 
 |-  { <. x , y >. | ps } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) }
13 11 12 uneq12i 
 |-  ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } )
14 df-opab 
 |-  { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
15 10 13 14 3eqtr4i 
 |-  ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }