Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = ( Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) |
2 |
|
simplr |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> A e. X ) |
3 |
|
simprl |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> B e. V ) |
4 |
|
simpl |
|- ( ( V e. W /\ A e. X ) -> V e. W ) |
5 |
|
snex |
|- { <. A , { B , C } >. } e. _V |
6 |
5
|
a1i |
|- ( ( B e. V /\ C e. V ) -> { <. A , { B , C } >. } e. _V ) |
7 |
|
opvtxfv |
|- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> ( Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V ) |
8 |
4 6 7
|
syl2an |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = V ) |
9 |
3 8
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> B e. ( Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) ) |
10 |
|
simprr |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. V ) |
11 |
10 8
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> C e. ( Vtx ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) ) |
12 |
|
opiedgfv |
|- ( ( V e. W /\ { <. A , { B , C } >. } e. _V ) -> ( iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } ) |
13 |
4 6 12
|
syl2an |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> ( iEdg ` <. V , { <. A , { B , C } >. } >. ) = { <. A , { B , C } >. } ) |
14 |
1 2 9 11 13
|
uspgr1e |
|- ( ( ( V e. W /\ A e. X ) /\ ( B e. V /\ C e. V ) ) -> <. V , { <. A , { B , C } >. } >. e. USPGraph ) |