Theorem brdif

Description: The difference of two binary relations. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011)

	Ref	Expression
Assertion	brdif	$$⊢A\left(R\setminus S\right)B\leftrightarrow \left(ARB\wedge \neg ASB\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif	$$⊢⟨A,B⟩\in \left(R\setminus S\right)\leftrightarrow \left(⟨A,B⟩\in R\wedge \neg ⟨A,B⟩\in S\right)$$
2		df-br	$$⊢A\left(R\setminus S\right)B\leftrightarrow ⟨A,B⟩\in \left(R\setminus S\right)$$
3		df-br	$$⊢ARB\leftrightarrow ⟨A,B⟩\in R$$
4		df-br	$$⊢ASB\leftrightarrow ⟨A,B⟩\in S$$
5	4	notbii	$$⊢\neg ASB\leftrightarrow \neg ⟨A,B⟩\in S$$
6	3 5	anbi12i	$$⊢\left(ARB\wedge \neg ASB\right)\leftrightarrow \left(⟨A,B⟩\in R\wedge \neg ⟨A,B⟩\in S\right)$$
7	1 2 6	3bitr4i	$$⊢A\left(R\setminus S\right)B\leftrightarrow \left(ARB\wedge \neg ASB\right)$$