cgrane4

Description: Angles imply inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	iscgra.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
	iscgra.i	$⊢ I = Itv (G)$
	iscgra.k	$⊢ K = {hl}_{𝒢} (G)$
	iscgra.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
	iscgra.a	$⊢ φ \to A \in P$
	iscgra.b	$⊢ φ \to B \in P$
	iscgra.c	$⊢ φ \to C \in P$
	iscgra.d	$⊢ φ \to D \in P$
	iscgra.e	$⊢ φ \to E \in P$
	iscgra.f	$⊢ φ \to F \in P$
	cgrahl1.2	$⊢ φ \to ⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ D E F ”⟩$
Assertion	cgrane4	$⊢ φ \to E \neq F$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgra.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
2		iscgra.i	$⊢ I = Itv (G)$
3		iscgra.k	$⊢ K = {hl}_{𝒢} (G)$
4		iscgra.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
5		iscgra.a	$⊢ φ \to A \in P$
6		iscgra.b	$⊢ φ \to B \in P$
7		iscgra.c	$⊢ φ \to C \in P$
8		iscgra.d	$⊢ φ \to D \in P$
9		iscgra.e	$⊢ φ \to E \in P$
10		iscgra.f	$⊢ φ \to F \in P$
11		cgrahl1.2	$⊢ φ \to ⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ D E F ”⟩$
12		simplr	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to y \in P$
13	10	ad3antrrr	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to F \in P$
14	9	ad3antrrr	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to E \in P$
15	4	ad3antrrr	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to G \in 𝒢_{Tarski}$
16		simpr3	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to y K (E) F$
17	1 2 3 12 13 14 15 16	hlne2	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to F \neq E$
18	17	necomd	$⊢ (((φ \land x \in P) \land y \in P) \land (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)) \to E \neq F$
19	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	iscgra	$⊢ φ \to (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢}^{∠} (G) ⟨“ D E F ”⟩ \leftrightarrow \exists x \in P \exists y \in P (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F))$
20	11 19	mpbid	$⊢ φ \to \exists x \in P \exists y \in P (⟨“ A B C ”⟩ \sim_{𝒢} (G) ⟨“ x E y ”⟩ \land x K (E) D \land y K (E) F)$
21	18 20	r19.29vva	$⊢ φ \to E \neq F$

Metamath Proof Explorer

Theorem cgrane4

Proof