Theorem compleq

Description: Two classes are equal if and only if their complements are equal. (Contributed by BJ, 19-Mar-2021)

	Ref	Expression
Assertion	compleq	$$⊢A=B\leftrightarrow \mathrm{V}\setminus A=\mathrm{V}\setminus B$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		complss	$$⊢A\subseteq B\leftrightarrow \mathrm{V}\setminus B\subseteq \mathrm{V}\setminus A$$
2		complss	$$⊢B\subseteq A\leftrightarrow \mathrm{V}\setminus A\subseteq \mathrm{V}\setminus B$$
3	1 2	anbi12ci	$$⊢\left(A\subseteq B\wedge B\subseteq A\right)\leftrightarrow \left(\mathrm{V}\setminus A\subseteq \mathrm{V}\setminus B\wedge \mathrm{V}\setminus B\subseteq \mathrm{V}\setminus A\right)$$
4		eqss	$$⊢A=B\leftrightarrow \left(A\subseteq B\wedge B\subseteq A\right)$$
5		eqss	$$⊢\mathrm{V}\setminus A=\mathrm{V}\setminus B\leftrightarrow \left(\mathrm{V}\setminus A\subseteq \mathrm{V}\setminus B\wedge \mathrm{V}\setminus B\subseteq \mathrm{V}\setminus A\right)$$
6	3 4 5	3bitr4i	$$⊢A=B\leftrightarrow \mathrm{V}\setminus A=\mathrm{V}\setminus B$$