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Theorem dftr5

Description: An alternate way of defining a transitive class. Definition 1.1 of Schloeder p. 1. (Contributed by NM, 20-Mar-2004) Avoid ax-11 . (Revised by BTernaryTau, 28-Dec-2024)

		Ref	Expression
	Assertion	dftr5	$⊢ Tr A \leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in x y \in A$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impexp	$⊢ ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow (y \in x \to (x \in A \to y \in A))$
2	1	albii	$⊢ \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall y (y \in x \to (x \in A \to y \in A))$
3		df-ral	$⊢ \forall y \in x (x \in A \to y \in A) \leftrightarrow \forall y (y \in x \to (x \in A \to y \in A))$
4		r19.21v	$⊢ \forall y \in x (x \in A \to y \in A) \leftrightarrow (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
5	2 3 4	3bitr2i	$⊢ \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
6	5	albii	$⊢ \forall x \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall x (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
7		dftr2c	$⊢ Tr A \leftrightarrow \forall x \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A)$
8		df-ral	$⊢ \forall x \in A \forall y \in x y \in A \leftrightarrow \forall x (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
9	6 7 8	3bitr4i	$⊢ Tr A \leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in x y \in A$