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Theorem dftr5OLD

Description: Obsolete version of dftr5 as of 28-Dec-2024. (Contributed by NM, 20-Mar-2004) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	dftr5OLD	$⊢ Tr A \leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in x y \in A$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2	$⊢ Tr A \leftrightarrow \forall y \forall x ((y \in x \land x \in A) \to y \in A)$
2		alcom	$⊢ \forall y \forall x ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall x \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A)$
3		impexp	$⊢ ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow (y \in x \to (x \in A \to y \in A))$
4	3	albii	$⊢ \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall y (y \in x \to (x \in A \to y \in A))$
5		df-ral	$⊢ \forall y \in x (x \in A \to y \in A) \leftrightarrow \forall y (y \in x \to (x \in A \to y \in A))$
6	4 5	bitr4i	$⊢ \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall y \in x (x \in A \to y \in A)$
7		r19.21v	$⊢ \forall y \in x (x \in A \to y \in A) \leftrightarrow (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
8	6 7	bitri	$⊢ \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
9	8	albii	$⊢ \forall x \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall x (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
10		df-ral	$⊢ \forall x \in A \forall y \in x y \in A \leftrightarrow \forall x (x \in A \to \forall y \in x y \in A)$
11	9 10	bitr4i	$⊢ \forall x \forall y ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in x y \in A$
12	2 11	bitri	$⊢ \forall y \forall x ((y \in x \land x \in A) \to y \in A) \leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in x y \in A$
13	1 12	bitri	$⊢ Tr A \leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in x y \in A$