Theorem difdif2

Description: Class difference by a class difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2017)

	Ref	Expression
Assertion	difdif2	$$⊢A\setminus \left(B\setminus C\right)=\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\cap C\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difindi	$$⊢A\setminus \left(B\cap \left(\mathrm{V}\setminus C\right)\right)=\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus C\right)\right)$$
2		invdif	$$⊢B\cap \left(\mathrm{V}\setminus C\right)=B\setminus C$$
3	2	eqcomi	$$⊢B\setminus C=B\cap \left(\mathrm{V}\setminus C\right)$$
4	3	difeq2i	$$⊢A\setminus \left(B\setminus C\right)=A\setminus \left(B\cap \left(\mathrm{V}\setminus C\right)\right)$$
5		dfin2	$$⊢A\cap C=A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus C\right)$$
6	5	uneq2i	$$⊢\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus C\right)\right)$$
7	1 4 6	3eqtr4i	$$⊢A\setminus \left(B\setminus C\right)=\left(A\setminus B\right)\cup \left(A\cap C\right)$$