Theorem difuncomp

Description: Express a class difference using unions and class complements. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020)

	Ref	Expression
Assertion	difuncomp	$$⊢A\subseteq C\to A\setminus B=C\setminus \left(\left(C\setminus A\right)\cup B\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom	$$⊢C\cap A=A\cap C$$
2		sseqin2	$$⊢A\subseteq C\leftrightarrow C\cap A=A$$
3	2	biimpi	$$⊢A\subseteq C\to C\cap A=A$$
4	1 3	syl5reqr	$$⊢A\subseteq C\to A=A\cap C$$
5	4	difeq1d	$$⊢A\subseteq C\to A\setminus B=\left(A\cap C\right)\setminus B$$
6		difundi	$$⊢C\setminus \left(\left(C\setminus A\right)\cup B\right)=\left(C\setminus \left(C\setminus A\right)\right)\cap \left(C\setminus B\right)$$
7		dfss4	$$⊢A\subseteq C\leftrightarrow C\setminus \left(C\setminus A\right)=A$$
8	7	biimpi	$$⊢A\subseteq C\to C\setminus \left(C\setminus A\right)=A$$
9	8	ineq1d	$$⊢A\subseteq C\to \left(C\setminus \left(C\setminus A\right)\right)\cap \left(C\setminus B\right)=A\cap \left(C\setminus B\right)$$
10	6 9	syl5eq	$$⊢A\subseteq C\to C\setminus \left(\left(C\setminus A\right)\cup B\right)=A\cap \left(C\setminus B\right)$$
11		indif2	$$⊢A\cap \left(C\setminus B\right)=\left(A\cap C\right)\setminus B$$
12	10 11	eqtrdi	$$⊢A\subseteq C\to C\setminus \left(\left(C\setminus A\right)\cup B\right)=\left(A\cap C\right)\setminus B$$
13	5 12	eqtr4d	$$⊢A\subseteq C\to A\setminus B=C\setminus \left(\left(C\setminus A\right)\cup B\right)$$