Metamath Proof Explorer

Theorem hbexgVD

Description: Virtual deduction proof of hbexg . The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbexg is hbexgVD without virtual deductions and was automatically derived from hbexgVD . (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1:: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ).
2:1: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. y A. x ( ph -> A. x ph ) ).
3:2: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x ( ph -> A. x ph ) ).
4:3: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
5:: |- ( A. x A. y ( ph -> A. x ph ) <-> A. y A. x ( ph -> A. x ph ) )
6:: |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. y A. y A. x ( ph -> A. x ph ) )
7:5: |- ( A. y A. x A. y ( ph -> A. x ph ) <-> A. y A. y A. x ( ph -> A. x ph ) )
8:5,6,7: |- ( A. x A. y ( ph -> A. x ph ) -> A. y A. x A. y ( ph -> A. x ph ) )
9:8,4: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. y A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
10:9: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x A. y ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
11:10: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. y ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
12:11: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. y ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) ).
13:12: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) ).
14:: |- ( A. x A. y ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x A. y ( ph -> A. x ph ) )
15:13,14: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x ( A. y -. ph -> A. x A. y -. ph ) ).
16:15: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x ( -. A. y -. ph -> A. x -. A. y -. ph ) ).
17:16: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. ( -. A. y -. ph -> A. x -. A. y -. ph ) ).
18:: |- ( E. y ph <-> -. A. y -. ph )
19:17,18: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. ( E. y ph -> A. x -. A. y -. ph ) ).
20:18: |- ( A. x E. y ph <-> A. x -. A. y -. ph )
21:19,20: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. ( E. y ph -> A. x E. y ph ) ).
22:8,21: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. y ( E. y ph -> A. x E. y ph ) ).
23:14,22: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x A. y ( E. y ph -> A. x E. y ph ) ).
qed:23: |- (. A. x A. y ( ph -> A. x ph ) ->. A. x A. y ( E. y ph -> A. x E. y ph ) ).

Ref Expression
Assertion hbexgVD ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ y ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hba1 ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ
2 hba1 ⊢ ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ → ∀ y ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ
3 alcom ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ ↔ ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ
4 3 albii ⊢ ∀ y ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ ↔ ∀ y ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ
5 2 3 4 3imtr4i ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ
6 idn1 ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ
7 ax-11 ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ
8 6 7 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ
9 sp ⊢ ∀ y ∀ x φ → ∀ x φ → ∀ x φ → ∀ x φ
10 8 9 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x φ → ∀ x φ
11 hbntal ⊢ ∀ x φ → ∀ x φ → ∀ x ¬ φ → ∀ x ¬ φ
12 10 11 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ¬ φ → ∀ x ¬ φ
13 5 12 gen11nv ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ∀ x ¬ φ → ∀ x ¬ φ
14 ax-11 ⊢ ∀ y ∀ x ¬ φ → ∀ x ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ φ
15 13 14 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ φ
16 sp ⊢ ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ φ → ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ φ
17 15 16 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ φ
18 hbalg ⊢ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ φ → ∀ y ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ
19 17 18 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ
20 sp ⊢ ∀ y ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ
21 19 20 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ
22 1 21 gen11nv ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ
23 hbntal ⊢ ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ x ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
24 22 23 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
25 sp ⊢ ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
26 24 25 e1a ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
27 df-ex ⊢ ∃ y φ ↔ ¬ ∀ y ¬ φ
28 imbi1 ⊢ ∃ y φ ↔ ¬ ∀ y ¬ φ → ∃ y φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ ↔ ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
29 28 biimprcd ⊢ ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∃ y φ ↔ ¬ ∀ y ¬ φ → ∃ y φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
30 26 27 29 e10 ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∃ y φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
31 27 albii ⊢ ∀ x ∃ y φ ↔ ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
32 imbi2 ⊢ ∀ x ∃ y φ ↔ ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ ↔ ∃ y φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ
33 32 biimprcd ⊢ ∃ y φ → ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∀ x ∃ y φ ↔ ∀ x ¬ ∀ y ¬ φ → ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ
34 30 31 33 e10 ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ
35 5 34 gen11nv ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ y ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ
36 1 35 gen11nv ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ y ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ
37 36 in1 ⊢ ∀ x ∀ y φ → ∀ x φ → ∀ x ∀ y ∃ y φ → ∀ x ∃ y φ