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Theorem hoidifhspf

Description: D is a function that returns the representation of the left side of the difference of a half-open interval and a half-space. Used in Lemma 115F of Fremlin1 p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020)

Ref Expression
Hypotheses hoidifhspf.d D = x a X k X if k = K if x a k a k x a k
hoidifhspf.y φ Y
hoidifhspf.x φ X V
hoidifhspf.a φ A : X
Assertion hoidifhspf φ D Y A : X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hoidifhspf.d D = x a X k X if k = K if x a k a k x a k
2 hoidifhspf.y φ Y
3 hoidifhspf.x φ X V
4 hoidifhspf.a φ A : X
5 4 ffvelrnda φ k X A k
6 2 adantr φ k X Y
7 5 6 ifcld φ k X if Y A k A k Y
8 7 5 ifcld φ k X if k = K if Y A k A k Y A k
9 8 fmpttd φ k X if k = K if Y A k A k Y A k : X
10 1 2 3 4 hoidifhspval2 φ D Y A = k X if k = K if Y A k A k Y A k
11 10 feq1d φ D Y A : X k X if k = K if Y A k A k Y A k : X
12 9 11 mpbird φ D Y A : X