Database
ZF (ZERMELO-FRAENKEL) SET THEORY
ZF Set Theory - add the Axiom of Union
Supremum and infimum
infeu
Next ⟩
fimin2g
Metamath Proof Explorer
Ascii
Unicode
Theorem
infeu
Description:
An infimum is unique.
(Contributed by
AV
, 6-Oct-2020)
Ref
Expression
Hypotheses
infmo.1
⊢
φ
→
R
Or
A
infeu.2
⊢
φ
→
∃
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
Assertion
infeu
⊢
φ
→
∃!
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
Proof
Step
Hyp
Ref
Expression
1
infmo.1
⊢
φ
→
R
Or
A
2
infeu.2
⊢
φ
→
∃
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
3
1
infmo
⊢
φ
→
∃
*
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
4
reu5
⊢
∃!
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
↔
∃
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
∧
∃
*
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y
5
2
3
4
sylanbrc
⊢
φ
→
∃!
x
∈
A
∀
y
∈
B
¬
y
R
x
∧
∀
y
∈
A
x
R
y
→
∃
z
∈
B
z
R
y