iserd

Description: A reflexive, symmetric, transitive relation is an equivalence relation on its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	iserd.1	$⊢ φ \to Rel R$
	iserd.2	$⊢ (φ \land x R y) \to y R x$
	iserd.3	$⊢ (φ \land (x R y \land y R z)) \to x R z$
	iserd.4	$⊢ φ \to (x \in A \leftrightarrow x R x)$
Assertion	iserd	$⊢ φ \to R Er A$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iserd.1	$⊢ φ \to Rel R$
2		iserd.2	$⊢ (φ \land x R y) \to y R x$
3		iserd.3	$⊢ (φ \land (x R y \land y R z)) \to x R z$
4		iserd.4	$⊢ φ \to (x \in A \leftrightarrow x R x)$
5		eqidd	$⊢ φ \to dom R = dom R$
6	2	ex	$⊢ φ \to (x R y \to y R x)$
7	3	ex	$⊢ φ \to ((x R y \land y R z) \to x R z)$
8	6 7	jca	$⊢ φ \to ((x R y \to y R x) \land ((x R y \land y R z) \to x R z))$
9	8	alrimiv	$⊢ φ \to \forall z ((x R y \to y R x) \land ((x R y \land y R z) \to x R z))$
10	9	alrimiv	$⊢ φ \to \forall y \forall z ((x R y \to y R x) \land ((x R y \land y R z) \to x R z))$
11	10	alrimiv	$⊢ φ \to \forall x \forall y \forall z ((x R y \to y R x) \land ((x R y \land y R z) \to x R z))$
12		dfer2	$⊢ R Er dom R \leftrightarrow (Rel R \land dom R = dom R \land \forall x \forall y \forall z ((x R y \to y R x) \land ((x R y \land y R z) \to x R z)))$
13	1 5 11 12	syl3anbrc	$⊢ φ \to R Er dom R$
14	13	adantr	$⊢ (φ \land x \in dom R) \to R Er dom R$
15		simpr	$⊢ (φ \land x \in dom R) \to x \in dom R$
16	14 15	erref	$⊢ (φ \land x \in dom R) \to x R x$
17	16	ex	$⊢ φ \to (x \in dom R \to x R x)$
18		vex	$⊢ x \in V$
19	18 18	breldm	$⊢ x R x \to x \in dom R$
20	17 19	impbid1	$⊢ φ \to (x \in dom R \leftrightarrow x R x)$
21	20 4	bitr4d	$⊢ φ \to (x \in dom R \leftrightarrow x \in A)$
22	21	eqrdv	$⊢ φ \to dom R = A$
23		ereq2	$⊢ dom R = A \to (R Er dom R \leftrightarrow R Er A)$
24	22 23	syl	$⊢ φ \to (R Er dom R \leftrightarrow R Er A)$
25	13 24	mpbid	$⊢ φ \to R Er A$

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Theorem iserd

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