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Theorem mercolem4

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	mercolem4	$⊢ (θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))$
2		merco2	$⊢ (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ)) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))$
3		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (θ \to χ))) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))$
4		mercolem1	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (θ \to χ))) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to (((⊥ \to φ) \to (θ \to χ)) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))))$
5	3 4	ax-mp	$⊢ ((⊥ \to φ) \to (θ \to χ)) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))$
6		mercolem1	$⊢ (((⊥ \to φ) \to (θ \to χ)) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))) \to ((θ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ (θ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))))$
8		merco2	$⊢ ((θ \to χ) \to ((⊥ \to φ) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))))) \to ((((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to θ) \to (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ)))$
9	7 8	ax-mp	$⊢ (((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to θ) \to (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ))$
10		mercolem3	$⊢ ((((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to θ) \to (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ))) \to ((((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to θ) \to ((⊥ \to φ) \to (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ))))$
11	9 10	ax-mp	$⊢ (((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to θ) \to ((⊥ \to φ) \to (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ)))$
12		merco2	$⊢ ((((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))) \to θ) \to ((⊥ \to φ) \to (((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ)))) \to (((((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ)) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))))))$
13	11 12	ax-mp	$⊢ ((((η \to φ) \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to θ)) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))))$
14	2 13	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))))$
15	1 14	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ))))$
16	1 15	ax-mp	$⊢ (θ \to (η \to φ)) \to (((θ \to χ) \to φ) \to (τ \to (η \to φ)))$