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Theorem minimp-ax2

Description: Derivation of ax-2 from ax-mp and minimp . (Contributed by BJ, 4-Apr-2021) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	minimp-ax2	$⊢ (φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minimp-ax2c	$⊢ (φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))$
2		minimp-ax2c	$⊢ ((φ \to ψ) \to (φ \to (ψ \to χ))) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))$
3		minimp-syllsimp	$⊢ (((φ \to ψ) \to (φ \to (ψ \to χ))) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ))))$
4	2 3	ax-mp	$⊢ (φ \to (ψ \to χ)) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))$
5		minimp-ax2c	$⊢ ((φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ)))) \to (((φ \to (ψ \to χ)) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ))))$
6		minimp-syllsimp	$⊢ (((φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ)))) \to (((φ \to (ψ \to χ)) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ))))) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to (((φ \to (ψ \to χ)) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ ((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to (((φ \to (ψ \to χ)) \to (((φ \to ψ) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ)))) \to ((φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ))))$
8	1 4 7	mp2	$⊢ (φ \to (ψ \to χ)) \to ((φ \to ψ) \to (φ \to χ))$