Theorem pncan2s

Description: Cancellation law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025)

	Ref	Expression
Assertion	pncan2s	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to \left(A{+}_{s}B\right){-}_{s}A=B$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid	$$⊢A{+}_{s}B=A{+}_{s}B$$
2		addscl	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to A{+}_{s}B\in \mathrm{No}$$
3		simpl	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to A\in \mathrm{No}$$
4		simpr	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to B\in \mathrm{No}$$
5	2 3 4	subaddsd	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to \left(\left(A{+}_{s}B\right){-}_{s}A=B\leftrightarrow A{+}_{s}B=A{+}_{s}B\right)$$
6	1 5	mpbiri	$$⊢\left(A\in \mathrm{No}\wedge B\in \mathrm{No}\right)\to \left(A{+}_{s}B\right){-}_{s}A=B$$