Metamath Proof Explorer

Theorem sbc3orgVD

Description: Virtual deduction proof of the analogue of sbcor with three disjuncts. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1:: |- (. A e. B ->. A e. B ).
2:1,?: e1a |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ( ph \/ ps ) \/ ch ) <-> ( [. A / x ]. ( ph \/ ps ) \/ [. A / x ]. ch ) ) ).
3:: |- ( ( ( ph \/ ps ) \/ ch ) <-> ( ph \/ ps \/ ch ) )
32:3: |- A. x ( ( ( ph \/ ps ) \/ ch ) <-> ( ph \/ ps \/ ch ) )
33:1,32,?: e10 |- (. A e. B ->. [. A / x ]. ( ( ( ph \/ ps ) \/ ch ) <-> ( ph \/ ps \/ ch ) ) ).
4:1,33,?: e11 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ( ph \/ ps ) \/ ch ) <-> [. A / x ]. ( ph \/ ps \/ ch ) ) ).
5:2,4,?: e11 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( [. A / x ]. ( ph \/ ps ) \/ [. A / x ]. ch ) ) ).
6:1,?: e1a |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ph \/ ps ) <-> ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps ) ) ).
7:6,?: e1a |- (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. ( ph \/ ps ) \/ [. A / x ]. ch ) <-> ( ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps ) \/ [. A / x ]. ch ) ) ).
8:5,7,?: e11 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps ) \/ [. A / x ]. ch ) ) ).
9:?: |- ( ( ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps ) \/ [. A / x ]. ch ) <-> ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps \/ [. A / x ]. ch ) )
10:8,9,?: e10 |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps \/ [. A / x ]. ch ) ) ).
qed:10: |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. ( ph \/ ps \/ ch ) <-> ( [. A / x ]. ph \/ [. A / x ]. ps \/ [. A / x ]. ch ) ) )
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion sbc3orgVD ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn1 ⊢ A ∈ B → A ∈ B
2 sbcor ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
3 2 a1i ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
4 1 3 e1a ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
5 df-3or ⊢ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ
6 5 bicomi ⊢ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ
7 6 ax-gen ⊢ ∀ x φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ
8 spsbc ⊢ A ∈ B → ∀ x φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ
9 1 7 8 e10 ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ
10 sbcbig ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ
11 10 biimpd ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ φ ∨ ψ ∨ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ
12 1 9 11 e11 ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ
13 bitr3 ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
14 13 com12 ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
15 4 12 14 e11 ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
16 sbcor ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ
17 16 a1i ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ
18 1 17 e1a ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ
19 orbi1 ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
20 18 19 e1a ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
21 bibi1 ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
22 21 biimprd ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
23 15 20 22 e11 ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
24 df-3or ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
25 24 bicomi ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
26 bibi1 ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
27 26 biimprd ⊢ [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
28 23 25 27 e10 ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ
29 28 in1 ⊢ A ∈ B → [˙A / x]˙ φ ∨ ψ ∨ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∨ [˙A / x]˙ ψ ∨ [˙A / x]˙ χ