Theorem sbcoteq1a

Description: Equality theorem for substitution of a class for an ordered triple. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2024)

	Ref	Expression
Assertion	sbcoteq1a	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \phi \right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to 2^{nd}\left(A\right)=2^{nd}\left(⟨x,y,z⟩\right)$$
2		ot3rdg	$$⊢z\in \mathrm{V}\to 2^{nd}\left(⟨x,y,z⟩\right)=z$$
3	2	elv	$$⊢2^{nd}\left(⟨x,y,z⟩\right)=z$$
4	1 3	eqtr2di	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to z=2^{nd}\left(A\right)$$
5		sbceq1a	$$⊢z=2^{nd}\left(A\right)\to \left(\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
6	4 5	syl	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to \left(\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
7		2fveq3	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to 2^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)=2^{nd}\left(1^{st}\left(⟨x,y,z⟩\right)\right)$$
8		vex	$$⊢x\in \mathrm{V}$$
9		vex	$$⊢y\in \mathrm{V}$$
10		vex	$$⊢z\in \mathrm{V}$$
11		ot2ndg	$$⊢\left(x\in \mathrm{V}\wedge y\in \mathrm{V}\wedge z\in \mathrm{V}\right)\to 2^{nd}\left(1^{st}\left(⟨x,y,z⟩\right)\right)=y$$
12	8 9 10 11	mp3an	$$⊢2^{nd}\left(1^{st}\left(⟨x,y,z⟩\right)\right)=y$$
13	7 12	eqtr2di	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to y=2^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)$$
14		sbceq1a	$$⊢y=2^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
15	13 14	syl	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
16		2fveq3	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to 1^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)=1^{st}\left(1^{st}\left(⟨x,y,z⟩\right)\right)$$
17		ot1stg	$$⊢\left(x\in \mathrm{V}\wedge y\in \mathrm{V}\wedge z\in \mathrm{V}\right)\to 1^{st}\left(1^{st}\left(⟨x,y,z⟩\right)\right)=x$$
18	8 9 10 17	mp3an	$$⊢1^{st}\left(1^{st}\left(⟨x,y,z⟩\right)\right)=x$$
19	16 18	eqtr2di	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to x=1^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)$$
20		sbceq1a	$$⊢x=1^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
21	19 20	syl	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
22	6 15 21	3bitrrd	$$⊢A=⟨x,y,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \phi \right)$$