Theorem sbcoteq1a

Description: Equality theorem for substitution of a class for an ordered triple. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2024)

	Ref	Expression
Assertion	sbcoteq1a	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \phi \right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex	$$⊢⟨x,y⟩\in \mathrm{V}$$
2		vex	$$⊢z\in \mathrm{V}$$
3	1 2	op2ndd	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to 2^{nd}\left(A\right)=z$$
4	3	eqcomd	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to z=2^{nd}\left(A\right)$$
5		sbceq1a	$$⊢z=2^{nd}\left(A\right)\to \left(\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
6	4 5	syl	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to \left(\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
7		vex	$$⊢x\in \mathrm{V}$$
8		vex	$$⊢y\in \mathrm{V}$$
9	7 8 2	ot22ndd	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to 2^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)=y$$
10	9	eqcomd	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to y=2^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)$$
11		sbceq1a	$$⊢y=2^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
12	10 11	syl	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
13	7 8 2	ot21std	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to 1^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)=x$$
14	13	eqcomd	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to x=1^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)$$
15		sbceq1a	$$⊢x=1^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
16	14 15	syl	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
17	6 12 16	3bitrrd	$$⊢A=⟨⟨x,y⟩,z⟩\to \left(\underset{\dot{}}{[}{1}^{st}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(1^{st}\left(A\right)\right)/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}{2}^{nd}\left(A\right)/z\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \phi \right)$$