trintALTVD

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Virtual deduction proof of trintALT . The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trintALT is trintALTVD without virtual deductions and was automatically derived from trintALTVD .

		Ref	Expression
	Assertion	trintALTVD	$⊢ \forall x \in A Tr x \to Tr ⋂ A$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to (z \in y \land y \in ⋂ A))$
2		simpl	$⊢ (z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in y$
3	1 2	e2	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in y)$
4		idn3	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A), q \in A \to q \in A)$
5		idn1	$⊢ (\forall x \in A Tr x \to \forall x \in A Tr x)$
6		rspsbc	$⊢ q \in A \to (\forall x \in A Tr x \to \underset{˙}{[} q / x \underset{˙}{]} Tr x)$
7	4 5 6	e31	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A), q \in A \to \underset{˙}{[} q / x \underset{˙}{]} Tr x)$
8		trsbc	$⊢ q \in A \to (\underset{˙}{[} q / x \underset{˙}{]} Tr x \leftrightarrow Tr q)$
9	8	biimpd	$⊢ q \in A \to (\underset{˙}{[} q / x \underset{˙}{]} Tr x \to Tr q)$
10	4 7 9	e33	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A), q \in A \to Tr q)$
11		simpr	$⊢ (z \in y \land y \in ⋂ A) \to y \in ⋂ A$
12	1 11	e2	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to y \in ⋂ A)$
13		elintg	$⊢ y \in ⋂ A \to (y \in ⋂ A \leftrightarrow \forall q \in A y \in q)$
14	13	ibi	$⊢ y \in ⋂ A \to \forall q \in A y \in q$
15	12 14	e2	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to \forall q \in A y \in q)$
16		rsp	$⊢ \forall q \in A y \in q \to (q \in A \to y \in q)$
17	15 16	e2	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to (q \in A \to y \in q))$
18		pm2.27	$⊢ q \in A \to ((q \in A \to y \in q) \to y \in q)$
19	4 17 18	e32	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A), q \in A \to y \in q)$
20		trel	$⊢ Tr q \to ((z \in y \land y \in q) \to z \in q)$
21	20	expd	$⊢ Tr q \to (z \in y \to (y \in q \to z \in q))$
22	10 3 19 21	e323	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A), q \in A \to z \in q)$
23	22	in3	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to (q \in A \to z \in q))$
24	23	gen21	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to \forall q (q \in A \to z \in q))$
25		df-ral	$⊢ \forall q \in A z \in q \leftrightarrow \forall q (q \in A \to z \in q)$
26	25	biimpri	$⊢ \forall q (q \in A \to z \in q) \to \forall q \in A z \in q$
27	24 26	e2	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to \forall q \in A z \in q)$
28		elintg	$⊢ z \in y \to (z \in ⋂ A \leftrightarrow \forall q \in A z \in q)$
29	28	biimprd	$⊢ z \in y \to (\forall q \in A z \in q \to z \in ⋂ A)$
30	3 27 29	e22	$⊢ (\forall x \in A Tr x, (z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in ⋂ A)$
31	30	in2	$⊢ (\forall x \in A Tr x \to ((z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in ⋂ A))$
32	31	gen12	$⊢ (\forall x \in A Tr x \to \forall z \forall y ((z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in ⋂ A))$
33		dftr2	$⊢ Tr ⋂ A \leftrightarrow \forall z \forall y ((z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in ⋂ A)$
34	33	biimpri	$⊢ \forall z \forall y ((z \in y \land y \in ⋂ A) \to z \in ⋂ A) \to Tr ⋂ A$
35	32 34	e1a	$⊢ (\forall x \in A Tr x \to Tr ⋂ A)$
36	35	in1	$⊢ \forall x \in A Tr x \to Tr ⋂ A$

1::	\|- (. A. x e. A Tr x ->. A. x e. A Tr x ).
2::	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ).
3:2:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. z e. y ).
4:2:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. y e. \|^\| A ).
5:4:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. A. q e. A y e. q ).
6:5:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. ( q e. A -> y e. q ) ).
7::	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) , q e. A ->. q e. A ).
8:7,6:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) , q e. A ->. y e. q ).
9:7,1:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) , q e. A ->. [ q / x ] Tr x ).
10:7,9:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) , q e. A ->. Tr q ).
11:10,3,8:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) , q e. A ->. z e. q ).
12:11:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. ( q e. A -> z e. q ) ).
13:12:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. A. q ( q e. A -> z e. q ) ).
14:13:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. A. q e. A z e. q ).
15:3,14:	\|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) ->. z e. \|^\| A ).
16:15:	\|- (. A. x e. A Tr x ->. ( ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) -> z e. \|^\| A ) ).
17:16:	\|- (. A. x e. A Tr x ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. \|^\| A ) -> z e. \|^\| A ) ).
18:17:	\|- (. A. x e. A Tr x ->. Tr \|^\| A ).
qed:18:	\|- ( A. x e. A Tr x -> Tr \|^\| A )

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Theorem trintALTVD

Proof