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Theorem zfcndpow

Description: Axiom of Power Sets ax-pow , reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness" dtru . Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 15-Aug-2003) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion zfcndpow y z w w z w x z y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dtru ¬ y y = z
2 exnal y ¬ y = z ¬ y y = z
3 1 2 mpbir y ¬ y = z
4 nfe1 y y z y x y z z y x z y
5 axpownd ¬ y = z y z y x y z z y x z y
6 4 5 exlimi y ¬ y = z y z y x y z z y x z y
7 3 6 ax-mp y z y x y z z y x z y
8 19.9v x y z y z
9 19.3v z y x y x
10 8 9 imbi12i x y z z y x y z y x
11 10 albii y x y z z y x y y z y x
12 11 imbi1i y x y z z y x z y y y z y x z y
13 12 albii z y x y z z y x z y z y y z y x z y
14 13 exbii y z y x y z z y x z y y z y y z y x z y
15 7 14 mpbi y z y y z y x z y
16 elequ1 w = y w z y z
17 elequ1 w = y w x y x
18 16 17 imbi12d w = y w z w x y z y x
19 18 cbvalvw w w z w x y y z y x
20 19 imbi1i w w z w x z y y y z y x z y
21 20 albii z w w z w x z y z y y z y x z y
22 21 exbii y z w w z w x z y y z y y z y x z y
23 15 22 mpbir y z w w z w x z y