Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elvv |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( V × V ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
2 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
4 |
2 3
|
op1st |
⊢ ( 1st ‘ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) = 𝑥 |
5 |
2 3
|
op1stb |
⊢ ∩ ∩ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 𝑥 |
6 |
4 5
|
eqtr4i |
⊢ ( 1st ‘ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) = ∩ ∩ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 |
7 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 1st ‘ 𝐴 ) = ( 1st ‘ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
8 |
|
inteq |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ∩ 𝐴 = ∩ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
9 |
8
|
inteqd |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ∩ ∩ 𝐴 = ∩ ∩ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
10 |
6 7 9
|
3eqtr4a |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 1st ‘ 𝐴 ) = ∩ ∩ 𝐴 ) |
11 |
10
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝐴 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 1st ‘ 𝐴 ) = ∩ ∩ 𝐴 ) |
12 |
1 11
|
sylbi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( V × V ) → ( 1st ‘ 𝐴 ) = ∩ ∩ 𝐴 ) |