Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ≼ ω ) → 𝐵 ∈ TopBases ) |
2 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ≼ ω ) → 𝐵 ≼ ω ) |
3 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ≼ ω ) → ( topGen ‘ 𝐵 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) |
4 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω ) ) |
5 |
|
fveqeq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( topGen ‘ 𝑥 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ( topGen ‘ 𝐵 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
6 |
4 5
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑥 ≼ ω ∧ ( topGen ‘ 𝑥 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐵 ≼ ω ∧ ( topGen ‘ 𝐵 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
7 |
6
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ TopBases ∧ ( 𝐵 ≼ ω ∧ ( topGen ‘ 𝐵 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ TopBases ( 𝑥 ≼ ω ∧ ( topGen ‘ 𝑥 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
8 |
1 2 3 7
|
syl12anc |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ≼ ω ) → ∃ 𝑥 ∈ TopBases ( 𝑥 ≼ ω ∧ ( topGen ‘ 𝑥 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
9 |
|
is2ndc |
⊢ ( ( topGen ‘ 𝐵 ) ∈ 2ndω ↔ ∃ 𝑥 ∈ TopBases ( 𝑥 ≼ ω ∧ ( topGen ‘ 𝑥 ) = ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
10 |
8 9
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ≼ ω ) → ( topGen ‘ 𝐵 ) ∈ 2ndω ) |