Theorem absnpncan2d

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied twice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	absnpncan2d.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
	absnpncan2d.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
	absnpncan2d.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	absnpncan2d.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
Assertion	absnpncan2d	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan2d.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
2		absnpncan2d.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
3		absnpncan2d.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
4		absnpncan2d.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
5	1 4	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐷 ) ∈ ℂ )
6	5	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ∈ ℝ )
7	1 3	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
8	7	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
9	3 4	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ )
10	9	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∈ ℝ )
11	8 10	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ∈ ℝ )
12	1 2	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
13	12	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
14	2 3	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
15	14	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
16	13 15	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ∈ ℝ )
17	16 10	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ∈ ℝ )
18	1 4 3	abs3difd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) )
19	1 3 2	abs3difd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) )
20	8 16 10 19	leadd1dd	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) )
21	6 11 17 18 20	letrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) )