Theorem anddi

Description: Double distributive law for conjunction. (Contributed by NM, 12-Aug-1994)

	Ref	Expression
Assertion	anddi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) ∨ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		andir	⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) )
2		andi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) )
3		andi	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ) )
4	2 3	orbi12i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) ∨ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ) ) )
5	1 4	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) ∨ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ) ) )