Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
2 |
1
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ) |
3 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
4 |
|
bccl |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) ∈ ℕ0 ) |
5 |
1 3 4
|
sylancl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) ∈ ℕ0 ) |
6 |
5
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) ∈ ℂ ) |
7 |
2 6
|
addcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) ) = ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
8 |
|
bcn1 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) C 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
9 |
8
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑁 − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C 1 ) ) |
10 |
1 9
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C 1 ) ) |
11 |
|
1e2m1 |
⊢ 1 = ( 2 − 1 ) |
12 |
11
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 = ( 2 − 1 ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) C 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 2 − 1 ) ) ) |
14 |
10 13
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 2 − 1 ) ) ) |
15 |
14
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 2 − 1 ) ) ) ) |
16 |
|
bcpasc |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 2 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) C 2 ) ) |
17 |
1 3 16
|
sylancl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 2 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) C 2 ) ) |
18 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
19 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ ) |
20 |
18 19
|
npcand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
21 |
20
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) C 2 ) = ( 𝑁 C 2 ) ) |
22 |
17 21
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C ( 2 − 1 ) ) ) = ( 𝑁 C 2 ) ) |
23 |
7 15 22
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) + ( ( 𝑁 − 1 ) C 2 ) ) = ( 𝑁 C 2 ) ) |